Кто-нибудь обязательно захочет узнать, что означает символ а^(3-5). Мы зна­ем, что 3-5 это решение уравнения (3-5)+5=3. Следовательно, мы знаем, что а^(3-5)а⁵=а³. Теперь можно разделить на а⁵, тогда а^(3-5)=а³/а⁵. Еще одно усилие, и вот окончательный ре­зультат: а^(3-5) =1/а². Таким образом, мы установили, что воз­ведение числа в отрицательную степень сводится к делению единицы на число, возведенное в положительную степень. Все было бы хорошо, если бы 1/а² не было бессмысленным символом. Ведь а — это целое положительное или отрицательное число, значит, а² больше единицы, а мы не умеем делить единицу на числа, большие чем единица!

Система так система. Натолкнувшись на неразрешимую за­дачу, надо расширить царство чисел. На этот раз нам трудно делить: нельзя найти целого числа ни положительного, ни от­рицательного, которое появилось бы в результате деления 3 на 5. Так назовем это и другие подобные ему числа рациональ­ными дробями и предположим, что дроби подчиняются тем же правилам, что и целые числа. Тогда мы сможем оперировать дробями так же хорошо, как и целыми числами.

Еще один пример на степень: что такое а^3/5? Мы знаем толь­ко, что (³/₅) 5=3, ибо это определение числа ³/₅, и еще, что (а^3/5)⁵ =_a(^3/5)⁵, ибо это одно из правил. Вспомнив определение

корня, мы получим а(^3/5)= . Определяя таким образом дро­би, мы не вводим никакого произвола. Сами правила следят за тем, чтобы подстановка дробей вместо написанных нами сим­волов не была бессмысленной процедурой. Замечательно, что эти правила справляются с дробями так же хорошо, как и с целыми числами (положительными и отрицательными)!