log_b(ac)= log_ba+log_bc. (22.3)

Это хорошо известно всем, кто пользовался таблицей логариф­мов, чтобы перемножить числа. По какому же основанию b брать логарифмы? Это безразлично; ведь в основу таких вычис­лений положен только принцип, общее свойство логарифмиче­ской функции. Вычислив логарифмы один раз по какому-ни­будь произвольному основанию, можно перейти к логарифмам по другому основанию при помощи умножения. Если умножить уравнение (22.3) на 61, то оно останется верным, поэтому если перемножить все числа в таблице логарифмов по основанию b на 61, то можно будет пользоваться и такой таблицей. Предпо­ложим, что нам известны логарифмы всех чисел по основанию b. Иначе говоря, можно решить уравнение b^а=с для любого с; для этого существует таблица. Задача состоит в том, как найти логарифм этого же числа с по другому основанию, например х. Нам нужно решить уравнение х^а'=с. Это легко сделать, пото­му что х всегда можно представить так: x=b^t. Найти t, зная х и b, просто: t=log_bx. Подставим теперь х=b^t в уравнение x^a' =с; оно перейдет в такое уравнение: (b^t)^а'=b^ta'=с. Иными словами, произведение ta' есть логарифм с по основанию b. Значит, a'=a/t. Таким образом, логарифмы по основанию х равны произведениям логарифмов по основанию b на по­стоянное число 1/t. Следовательно, все таблицы логарифмов эквивалентны с точностью до умножения на число 1/log_bx. Это позволяет нам выбрать для составления таблиц любое осно­вание, но мы решили, что удобнее всего взять за основание число 10. (Может возникнуть вопрос: не существует ли все-таки какого-нибудь естественного основания, при котором все выглядит как-то проще? Мы попытаемся ответить на этот вопрос позднее. Пока все логарифмы будут вычисляться по ос­нованию 10.)