Мы учли, что Dx; мало и что только избыточное давление Ри меняется в зависимости от х. Итак, согласно свойству III мы получаем
(III) r0=д2c/дt2=-дPu/дx. (47.11)
Теперь уже уравнений достаточно, чтобы увязать все величины и привести к одной переменной, скажем х. Можно выразить Рu в (47.11) с помощью (47.4):
r0д2c/дt2-cдru/дx (47.12)
а затем исключить ru с помощью (I). Тогда r0 сократится и у нас останется
д2c/дt2=xд2c/дx2. (47.13)
Обозначим с2s =x, тогда можно написать
Это и есть волновое уравнение, которое описывает распространение звука в среде.
§ 4. Решения волнового уравнения
Посмотрим теперь, действительно ли волновое уравнение описывает основные свойства звуковых волн в среде. Прежде всего мы хотим вывести, что звуковое колебание, или возмущение, движется с постоянной скоростью. Кроме того, нам нужно доказать, что два различных колебания могут свободно проходить друг через друга, т. е. принцип суперпозиции. Мы хотим еще доказать, что звук может распространяться и вправо и влево. Все эти свойства должны содержаться в нашем одном уравнении.
Раньше мы отмечали, что любое возмущение, имеющее вид плоской волны и движущееся с постоянной скоростью, записывается в виде f(x-vt). Посмотрим теперь, является ли f(x-vt) решением волнового уравнения. Вычисляя дc/дх, получаем производную функции dcldx=f'(x-vt). Дифференцируя еще раз, находим