Если всякая пара чисел преобразуется так же, как x и y, то она является компонентами вектора.
Рассмотрим теперь разницу в температурах двух соседних точек Р1 и Р2 (фиг. 2.6, б). В координатах х, у запишем
(2.20)
так как Dу = 0.
А в штрихованной системе? Там мы бы написали
(2.21)
Глядя на фиг. 2.6, б, мы видим, что
(2.22)
и
(2.23)
так как Dy отрицательно при положительном Dx. Подставляя в (2.21), получаем
(2.24)
(2.25)
Сравнивая (2.25) с (2.20), мы видим, что
(2.26)
Это уравнение говорит нам, что дТ/дх получается из дТ/дх' и дТ/ду' в точности так же, как х из х' и у' в (2.18). Значит, дТ/дх — это x-компонента вектора. Сходные же рассуждения показывают, что дТ/ду и dT/dz суть у- и z-компоненты. Стало быть, СТ есть на самом деле вектор. Это векторное поле, образованное из скалярного поля Т.
§ 4. Оператор С
А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что grad Т, или СT является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением