Скалярная величина С· (Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,
С·h = div h = «Дивергенция h». (2.36)
Можно было бы, как и для СT, описать физический смысл С·h. Но мы отложим это до лучших времен.
Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора С. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что
(2.37)
Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:
(2.38)
Подобно этому,
(2.39)
(2.40)
Комбинацию СXh называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.
В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит С:
СТ = grad T = Вектор,
С·h=divh = Скаляр,
СXh = roth = Вектор.
Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.
В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора С выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла
(2.41)
где r (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), a j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!