АX(ВXС) = В(А·С) -(А·В)С. (2.56)
Такой порядок членов выглядит уже лучше. Сделаем нашу подстановку в (2.56). Получится
СX (СXh) = С (Сh)-( С·С)h. (2.57)
С этой формулой уже все в порядке. Она действительно правильна, в чем вы можете убедиться, расписав компоненты. Последний член — это лапласиан, так что с равным успехом можно написать
СX (СXh) = С(С·h)- С2h. (2.58)
Из нашего списка (2.45) двойных С мы разобрали все комбинации, кроме (в), С(С·h). В ней есть смысл, это — векторное поле, но больше сказать о ней нечего. Это просто векторное поле, которое может случайно возникнуть в каком-нибудь расчете.
Удобно будет все наши рассуждения свести теперь в таблицу:
(2.59)
Вы могли заметить, что мы не пытались изобрести новый векторный оператор СХС. Понимаете, почему?
§ 8. Подвохи
Мы применили наши знания обычной векторной алгебры к алгебре оператора y Здесь нужно быть осторожным, иначе легко напутать. Нужно упомянуть о двух подвохах (впрочем, в нашем курсе они не встретятся). Что можете вы сказать о следующем выражении, куда входят две скалярные функции ш и j (фи):
Вы можете подумать, что это нуль, потому что оно похоже на
(Аa)X(Аb),
а это всегда равно нулю (векторное произведение двух одинаковых векторов АXА всегда нуль). Но в нашем примере два оператора С отнюдь не одинаковы! Первый действует на одну функцию, ш, а второй — на другую, j. И хотя мы изображаем их одним и тем же значком у, они все же должны рассматриваться как разные операторы. Направление Сш зависит от функции ш, а направление Сj — от функции j, так что они не обязаны быть параллельными:
(Сш)X(Сj)№0 (в общем случае).
К счастью, к таким выражениям мы прибегать не будем. (Но сказанное нами не меняет того факта, что СjXСш =0 в любом скалярном поле: здесь обе С действуют на одну и ту же функцию.) Подвох номер два (он тоже в нашем курсе не встретится): правила, которые мы здесь наметили, выглядят просто и красиво только в прямоугольных координатах. Например, если мы хотим написать x-компоненту выражения С2h, то сразу пишем