§ 8. Точен ли закон Кулона?
Если мы вглядимся чуть пристальнее в то, как поле внутри сферы оказывается нулевым, то лучше поймем, почему закон Гаусса обязан своим происхождением закону Кулона, т. е. точной зависимости силы от второй степени расстояния. Возьмем произвольную точку Р внутри однородно заряженной сферической поверхности.
Фиг. 5.9. Во всякой точке Р внутри заряженной сферической оболочки поле равно нулю.
Представим узкий конус, который начинается в точке Р и тянется до поверхности сферы, вырезая там небольшой сферический участок Dat (фиг. 5.9). В точности симметричный конус по другую сторону вершины вырежет на поверхности площадь Dа2. Если расстояния от Р до этих двух элементов площади равны r1 и r2, то площади находятся в отношении
(Вы можете доказать это для любой точки шара с помощью геометрии.)
Если поверхность сферы заряжена равномерно, то заряд Dq на каждом элементе поверхности пропорционален его площади
Тогда закон Кулона утверждает, что величины полей, создаваемых в Р этими двумя элементами поверхности, находятся в отношении
Поля в точности взаимно уничтожаются. Таким способом можно разбить на пары всю сферу. Значит, все поле в точке Р равно нулю. Но вы видите, что этого не было бы, окажись показатель степени r в законе Кулона не равным в точности двойке.
Справедливость закона Гаусса зависит от закона обратных квадратов Кулона. Если бы закон силы не подчинялся в точности зависимости 1/r2, то поле внутри однородно заряженной сферы не было бы в точности равно нулю.