Мы ищем общее решение пары гамильтоновых уравнений

Это линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Значит, всегда можно найти решения, яв­ляющиеся экспоненциальными функциями независимой пере­менной t. Сперва отыщем решения, в которых С₁ и С₂ одина­ково зависят от времени; возьмем пробные функции

Поскольку это решение отвечает состоянию с энергией E=hw,

то можно прямо написать

где Е пока неизвестна и должна быть определена так, чтобы дифференциальные уравнения (7.16) и (7.17) выполнялись. При подстановке С₁ и С₂ из (7.18) и (7.19) в дифференци­альные уравнения (7.16) и (7.17) производные дают просто -iE/h, умноженное на С₁ или C₂, так что слева остается попросту ЕС₁ или ЕС₂. Сокращая общие экспоненциальные множители, получаем

или после перестановки членов

У такой системы однородных алгебраических уравнений не­нулевые решения для а₁ и а₂ будут лишь тогда, когда опре­делитель, составленный из коэффициентов при а₁ и а₂, равен нулю, т. е. если

Но когда уравнений два и неизвестных тоже два, то можно обойтись и без столь возвышенных представлений. Каждое из уравнений (7.20) и (7.21) дает отношение двух коэффициентов a₁ и а₂, и эти два отношения должны быть равны. Из (7.20) мы имеем