Вначале доказывается справедливость A(1), и пока мы, как будто, действуем в согласии со схемой (1). Однако наш следующий шаг представляет собой мыслительную операцию, в корне отличную от второй строчки в схеме (1). Фактически, мы рассуждаем так:

«Предположим, что A(n) истинно при некотором произвольном n. Докажем, что тогда A(n+1) тоже истинно».

Без слова «некоторый» здесь обойтись невозможно, так как в противном случае наше предположение звучало бы так:

«Предположим, что A(n) истинно при произвольном n», т.е. мы предположили бы то, что требуется доказать! (Без слова «произвольный», очевидно, тоже невозможно обойтись.) В итоге вместо (1) мы пользуемся на самом деле схемой

A (1)

(2)

Заметим, что понятие «некоторый произвольный» не удается выразить с помощью математических кванторов

(для любого) и (существует). В сущности, это говорит о несовершенстве (бедности) «общепринятого» математического языка и о том, что так называемая «содержательная» логика, в рамках которой работает большинство математиков, не совпадает с формальной логикой, в которой операция взятия «некоторого произвольного» элемента не предусмотрена.

2. ОТКУДА МЫ ЗНАЕМ, ЧТО ТАКОЕ ТОЧКА?

В этом параграфе мы обсудим один из интереснейших вопросов, лежащих на стыке математики и психологии.