После избрания его академиком Ляпунов вновь занялся проблемой Чебышева, которую оставил 20 лет назад. Появляется ряд новых его трудов, исключительных по силе и глубине анализа. «И тем подвигом, которым он пытался начать свою ученую деятельность, он блестяще закончил… свою славную жизнь», — вспоминал о нем академик В. А. Стеклов, его друг и ученик.

Работы А. М. Ляпунова опередили свое время, при жизни у него почти не было продолжателей, за исключением В. А. Стеклова. Но после Великой Октябрьской революции, когда в ходе социалистического строительства в нашей стране стали бурно развиваться наука и техника и выросли новые кадры ученых, появились многочисленные последователи Ляпунова, его идейные наследники и ученики. «Общая задача об устойчивости движения» — докторская диссертация Ляпунова — стала настольной книгой многих специалистов. На ней воспитывались и росли советские ученые, обогатившие теорию устойчивости новыми важными теоремами и разработавшие эффективные методы решения прикладных задач.

В конце двадцатых годов под руководством замечательного советского ученого Н. Г. Четаева (1902–1959) возникла школа механиков, названная по месту своего рождения Казанской. В ее трудах получил широкое развитие второй метод Ляпунова. Затем в Москве, Киеве, Ленинграде, а позднее в Свердловске, Алма-Ате, Горьком, Одессе и в других городах появились и стали интенсивно работать группы специалистов в области устойчивости движения.

Советская научная литература по устойчивости чрезвычайно обширна и весьма богата результатами, как в области развития теории, так и в области ее практических применений.