1982–1985 годах – секретарь Генерального консульства СССР в Карловых Варах, ЧССР;

1985–1988 годах – атташе Посольства СССР в Праге, ЧССР;

1988–1991 годах – третий, второй секретарь секретариата заместителя Министра иностранных дел СССР;

1991–1992 годах – первый секретарь Общего секретариата МИД СССР, МИД РФ;

1992–1993 годах – консул Генерального консульства РФ в Братиславе, Словакия;

1993–1996 годах – советник Посольства РФ в Братиславе, Словакия.

В 1996–2000 годах – работал руководителем пресс-службы, затем начальником Управления Пресс-службы Президента Российской Федерации.

4 января 2000 года назначен пресс-секретарем Президента Российской Федерации.

Владеет чешским, словацким и английским языками.

Пресс-секретарь президента РФ. Был назначен на этот пост в январе 2000 года, в марте 2004 года – переутвержден. В 1996–2000 годах был руководителем управления пресс-службы и информации в администрации президента РФ. В 1983–1996 годах работал в системе МИД РФ и СССР. Был советником-посланником и консулом в Словакии. Член совета директоров ОАО «Первый канал», инициатор создания и куратор англоязычного канала Russia Today (RTTV).

В его семье три поколения мужчин носили имя Алексей. В 1982 году Громов окончил исторический факультет МГУ имени Ломоносова. Специализировался по кафедре южных и западных славян. Во время учебы был комсомольским активистом и комиссаром университетского оперотряда добровольной дружины. Командиром этого отряда был будущий коммерсант и политик Константин Затулин, в 1996 создавший и возглавивший Институт стран СНГ.

После окончания университета Громов получил направление в систему МИД СССР. В 1983–1985 годах был секретарем Генерального консульства СССР в Карловых Варах в Чехословацкой Социалистической Республике (ЧССР), в 1985–1988 годах – атташе советского посольства в Праге. В 1989 году вернулся в Москву, работал в центральном аппарате МИДа, был третьим, затем вторым секретарем. В 1991 году стал первым секретарем общего секретариата внешнеполитического ведомства.