Старший брат, Николай, учился некоторое время у знаменитого своего тезки, одного из первых русских чемпионов в скоростном беге на коньках, Струнникова, а затем стал известным хоккеистом, много раз привлекался в сборную Москвы. Болельщики довоенной поры знали его как непревзойденного мастера обводки, спортсмена волевого, мужественного, выносливого. Сестра Надя выступала за широко известную в ту пору женскую команду по хоккею с мячом «Буревестник».

Идя по стопам своих родных, беря пример со старших, Женя с детских лет влюбился в хоккей и записался в знаменитый в ту пору хоккейный клуб «Буревестник». Такая привязанность объяснялась просто: центральный стадион этого общества, тогда один из лучших в городе, находился рядом с домом Бабичей.

Когда Жене исполнилось шестнадцать лет, он был принят в третью команду, а через год уже периодически привлекался в первую, где играл в линии нападения рядом с Николаем.

– Молодцы, Бабичи! – кричали им с переполненных трибун болельщики, наблюдая, как напористо, лихо и ловко действует этот семейный тандем. Приметили Женю и журналисты. Зимой сорокового года очень тепло, доброжелательно написал о нем корреспондент «Комсомольской правды» Ефим Рубин. Он предсказывал, что через год-два этот спортсмен займет видное место среди ведущих хоккеистов столицы. Журналист утверждал, что у новичка есть все основания стать признанным лидером грозного «Буревестника».

Скорей всего, предсказанию этому суждено было сбыться, но тут грянула война, враг подошел к стенам столицы, и Евгений Бабич был призван в ряды Красной Армии. Просил, чтобы его немедленно отправили на фронт, но в военкомате сказали: