Прежде всего Кук направился на остров Хуахине, где был хорошо принят, затем на Райатеа: местная легенда гласила, что Новая Зеландия была колонизована с этого острова. Кук посетил и нанес на карту еще несколько островов этой группы, которую он назвал островами Общества, «потому что они расположены близко друг к другу». Разумеется, он не забывал присоединять к Британской короне эти новые земли.

Секретный приказ Адмиралтейства предписывал Куку проникнуть как можно дальше на юг, вплоть до 40° южной широты, в поисках Южного материка. Сам Кук обычно придерживался широких взглядов на теоретические проблемы – судя по всему, его позиция состояла в том, что его дело – не иметь мнение, а искать ответы на вопросы, но в данном случае он, по-видимому, с самого начала сомневался в существовании легендарного материка, и это сомнение нашло подтверждение, когда он встретил Тупиа, обладавшего и в самом деле феноменальными знаниями юга центральной части Тихого океана. По его словам, он не путешественник, им был его отец. Он рассказал, что его отец проделал великий путь на юг и там нет земли, одни острова. Однако для Кука приказ был приказом. Он направил «Индевор» к югу.

Он держал курс на юг около 1500 миль, пока не достиг 40° южной широты – рекомендованного предела, навязанного ему Адмиралтейством, – и не нашел никаких признаков суши. Уже тогда в теории Александра Далримпла были замечены ошибки. Кук не был расположен оставаться здесь зря. Погода была отвратительной, сильные штормы почти не утихали, постоянно приходилось чинить паруса и ремонтировать такелаж, и команда выбилась из сил. Короче говоря, «ревущие сороковые» вели себя в соответствии со своим названием.