3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.
4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.
9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.
На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.
Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У ? З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы ? и ? – вертикальные», З = «углы ? и ? равны». Получаем верное утверждение (теорему):У ? З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).
К каждому утверждению У ? З, называемому прямым, можно написать ещё три:
З ? У – обратное утверждение;
не У ? не З – противоположное утверждение;
не З ? не У – противоположное к обратному утверждение.
В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.
Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).