Тем, кто не сломал при этом язык, ясно, что множество студентов страны «включено» во всемирное множество студентов.

Можно продолжить эту цепочку включений, прихватив галактику. Но тогда следует, что множество студентов университета есть подмножество множества студентов галактики.

Это свойство цепочек просто и строго(!) доказывается прямо на основании того, как мы определили отношение включения.

У отношения включения есть ряд любопытных свойств. Не нами придуманных. Они могут быть обнаружены любым исследователем, если он «поиграет» с этим отношением.

Например, можно сказать, что множество студентов группы ух-001 включено в множество студентов университета, поскольку такая группа в университете числится. То, что из группы отчислены все студенты, для математики никакой роли не играет. Поскольку, НЕТ ни одного студента, числящегося в этой группе, который бы не числился в университете. Такого рода рассуждения совершенно корректно можно применить к любым пустым множества и сделать обобщающий вывод, что пустое множество включено в любое множество, в том числе и в себя.

Оцените математическую красоту фразы:

Любой элемент, принадлежащий множеству, не содержащему ни одного элемента, принадлежит и любому другому множеству, которое не содержит ни одного элемента.

Чуть менее красива фраза:

Любое множество является собственным подмножеством.

Или то же самое, но более жестоко:

Любое множество включено само в себя.

Действительно, группа ух-002 (в которой, вполне возможно, есть студенты) включена в группу ух-002, поскольку все студенты, которые в ней числятся по-прежнему числятся в ней, даже если ее название ух-002 упоминается несколько раз.

Из последнего примера можно сделать важный вывод. Если два множества (возможно на первый взгляд различные, вроде множества чиновников и множества слуг народа) включены друг в друга, то эти множества равны – то есть состоят из одних и тех же элементов.