Если бы тела и фигуры разрешалось разрывать и склеивать, то любое тело сколь угодно сложной структуры можно было бы превратить в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвратно утрачены. Поразмыслив немного, вы поймете, что топология занимается изучением самых простых и в то же время самых глубоких свойств, какими только обладает тело.

Чтобы пояснить суть дела, приведем типичную топологическую задачу. Представьте себе поверхность тора, сделанную из тонкой резины, наподобие велосипедной камеры. Предположим, что в стенке тора проколота крохотная дырочка. Можно ли через эту дырочку вывернуть тор наизнанку, как выворачивают велосипедную камеру? Решить эту задачу "в уме", руководствуясь только своим пространственным воображением, - дело нелегкое.

Хотя еще в восемнадцатом веке многие математики бились над решением отдельных топологических задач, начало систематической работы в области топологии было положено Августом Фердинандом Мебиусом, немецким астрономом, преподававшим в Лейпцигском университете в первой половине прошлого века. До Мебиуса все думали, что у любой поверхности две стороны, как у листа бумаги. Именно Мебиус совершил обескураживающее открытие: если взять полоску бумаги, перекрутить ее на полоборота, а концы склеить, то получится односторонняя поверхность, обладающая не двумя, а одной-единственной стороной!

Если вы возьмете на себя труд изготовить такую полоску (топологи называют ее листом Мебиуса) и тщательно присмотритесь к ее "устройству", вы сможете убедиться, что у нее действительно лишь одна сторона и один край.

Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительно существует - реальная, осязаемая вещь, которую каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мебиуса есть лишь одна сторона, сомневаться не приходится, и это свойство он сохраняет, как бы вы ни растягивали и ни деформировали его.