Такое уравнение описывает колебания грузика на пружинке, колебания заряда, текущего взад и вперед по электрической цепи, колебания камертона, порождающие звуковые волны, аналогичные колебания электронов в атоме, порождающие световые волны. Добавьте сюда уравнения, описывающие действия регуляторов, например поддерживающих заданную температуру термостата, сложные взаимодействия в химических реакциях и (уже совсем неожиданно) уравнения, относящиеся к росту колонии бактерий, которых одновременно и кормят и травят ядом, или к размножению лис, питающихся кроликами, которые в свою очередь едят траву, и т. д. Мы привели очень неполный список явлений, которые описываются почти теми же уравнениями, что и механический осциллятор. Эти уравнения называются
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это уравнения, состоящие из суммы нескольких членов, каждый из которых представляет собой производную зависимой величины по независимой, умноженную на постоянный коэффициент. Таким образом,
называется линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами (все аn — постоянные).
§ 2. Гармонический осциллятор
Пожалуй, простейшей механической системой, движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, является масса на пружинке. После того как к пружинке подвесят грузик, она немного растянется, чтобы уравновесить силу тяжести. Проследим теперь за вертикальными отклонениями массы от положения равновесия (фиг. 21.1).
Фиг. 21.1. Грузик, подвешенный на пружинке.
Простой пример гармонического осциллятора.
Отклонения вверх от положения равновесия мы обозначим через х и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае противодействующие растяжению силы прямо пропорциональны растяжению. Это означает, что сила равна -kx (знак минус напоминает нам, что сила противодействует смещениям). Таким образом, умноженное на массу ускорение должно быть равно -kx