Рассмотрим простейший пример — распространение звука в одномерном пространстве. Для вывода нам сначала необходимо понять, что же в действительности происходит. В основе явления лежит следующий факт: когда тело перемещается в воздухе, возникает возмущение, которое как-то распространяется по воздуху. На вопрос, что это за возмущение, мы можем ответить: это такое движение тела, которое вызывает изменение давления. Конечно, если тело движется медленно, воздух лишь обтекает его, но нас интересует быстрое движение, когда воздух не успевает обойти вокруг тела. При этих условиях воздух в процессе движения сжимается и возникает избыточное давление, толкающее окружающие слои воздуха. Эти слои в свою очередь сжимаются, снова возникает избыточное давление, и вот начинает распространяться волна.
Опишем этот процесс на языке формул. Прежде всего решим, какие нам нужны переменные. В нашей задаче нам нужно знать, насколько переместился воздух, поэтому смещение воздуха в звуковой волне, несомненно, будет первой нашей переменной. Вдобавок хотелось бы знать, как меняется плотность воздуха при смещении. Давление воздуха тоже меняется, и это еще одна интересная переменная. Кроме того, воздух движется с некоторой скоростью, и мы должны уметь определить скорость частиц воздуха. Частицы воздуха имеют еще и ускорение, но, записав все эти переменные, мы сразу же поймем, что и скорость, и ускорение будут нам известны, если известно смещение воздуха как функция времени.
Как уже говорилось, мы рассмотрим волну в одном измерении. Так можно поступить, если мы находимся достаточно далеко от источника и так называемый фронт волны мало отличается от плоскости. На этом примере наше доказательство будет проще, поскольку можно сказать, что смещение c зависит только от х и t, а не от у и z. Поэтому поведение воздуха описывается функцией c (х, t).