Т Е О Р Е М А 1
(3.1)
Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой Г от скалярного произведения вектора Сш) на другой вектор, ds, являющийся бесконечно малым элементом дуги кривой Г [направленной от (1) к (2)].
Напомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию f(x, y, z) и кривую Г, соединяющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество точек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина i-й хорды равна Dsi,-, где i пробегает значения 1, 2, 3, .... Под криволинейным интегралом
подразумевается предел суммы
где fi — значение функции где-то на i-й хорде. Предел — это то,
Фиг. 3.2. Криволинейный интеграл есть предел суммы.
к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным образом, чтобы даже наибольшее Dsi®0).
В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо f стоит другой скаляр — составляющая Сш в направлении Ds. Если обозначить эту составляющую через (Сш)t , то ясно, что
(3.2)
Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.
А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая Сш вдоль малого смещения DR равна быстроте изменения ш в направлении DR. Рассмотрим хорду кривой Ds от точки (1) до точки а на фиг. 3.2. По нашему определению