(3.3)
Точно так же мы имеем
(3.4)
где, конечно, (Сш)1 означает градиент, вычисленный на хорде Ds1, a (Сш)2 — градиент, вычисленный на Ds2. Сложив (3.3) и (3.4), получим
(3.5)
Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы получаем в итоге
(3.6)
Левая часть не зависит от того, как выбирать интервалы — лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу. Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как равенство не зависит и от выбора точек а, b, с,..., точно так же оно не зависит от выбора самой кривой Г. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).
Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства
(3.7)
Тогда наша теорема примет такой вид:
Т Е О Р Е М А 1
(3.8)
§ 2. Поток векторного поля
Прежде чем рассматривать следующую интегральную теорему — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в одной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваивается. Мы уже определили вектор h, представляющий количество тепла, протекающего сквозь единицу площади в единицу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S.