Р=Р₀+Р_u, r = r₀+r_u, (47.2)

можно считать, что изменение давления P_u очень мало по сравнению с P₀, а изменение плотности r_u очень мало по сравнению с r₀. Тогда

P₀+Р_u=f(r₀+r_u)=f(r₀)+ r_uf'(r₀), (47.3)

где P₀ = f(r₀) и f'(r₀) — производная от f(r), взятая при значении r =r₀. Второе равенство здесь возможно только потому, что r_u очень мало. Таким образом, мы находим, что избыточное давление P_u пропорционально избыточной плот­ности r_u; коэффициент пропорциональности обозначается через к:

(II) Р_u=cr_u, где c=f'(r₀)=(dP/dr)₀. (47.4)

Это весьма простое соотношение и составляет точное содержа­ние свойства II.

Перейдем теперь к свойству I. Предположим, что положение элемента объема воздуха, не возмущенного звуковой волной, есть х, а звук смещает его в момент времени t на величину c(х,t), так что его новое положение есть x+c(x,t), как показано на фиг. 47.3.

Фиг. 47.3. Смещение воздуха в точке х есть c (х,t), а в точке х+Dх равно c(x+Dx,t).

Первоначальный объем, приходящийся на единицу площади в плоской звуковой волне, есть Dx, а окончательный объем равен Dx+c(x+Dx,t)-c(x,t).